模糊数学模型

模糊数学法

模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一门科学，它是由美国控制论专家查德（Zadeh L.A.）在1965年创立的。模糊数学的理论和方法虽然还不很完善，但是已显示出强大的生命力。模糊数学的方法弥补了“综合指数法”忽略水质分级界线的模糊性的缺陷。因为地下水环境系统存在如下特征。1）水环境系统中污染物质之间存在着复杂的、难以明确的相关关系。水污染是由各污染因子共同作用的结果，它是一个连续、渐变、边界模糊的复杂过程，在评价时客观上存在模糊性。2）根据水的用途和环境指标来确定水质分级标准时，若用单一的每个因素的数值来表征其特征和用途，在标准选取上，人为因素极大，在客观上人们对水质的要求而制定的标准也存在模糊性。3）经过各种单项及综合运算后，对水质量给出一个结论，由于水质量是一个连续的变化的事件，因此给出的结论也存在模糊性（孙幼平等，1988）。根据上述特征，为了真实地刻画这个过程，针对其模糊性，运用模糊数学理论进行处理，对地下水水质的评价会给出比较客观的结果。（一）模糊综合评判法所谓模糊评判，就是根据给出的评价标准和实测值，经过模糊变换，对事物的全体作出总的评价的一种方法。模糊综合评判问题，实际上就是模糊变换问题，它的原理可用模式（4-27）表示：B=A·R （4-27）式中：A为因子权重。为了突出地下水水质成分的主要因子，对各种样品、各因子视其在模糊分级标准中不同情况，分别赋权，得权重A。A是由各评价因子的权重处理后所构成的1×m阶行矩阵，称为输入。权重A与评价的方法和目的有关。赋权应以各评价因子对地下水质量影响的贡献为主要考虑因素。若多种因子对地下水质量影响时，应能反映出多因子之间的协同、颉颃作用状况。在实际评价中，由于化学组分在地下水系统介质中迁移转化的机制不易认清，所以合理赋权是比较困难的。一般采用环境质量分指数法求出权重A。为了进行模糊变换，Wi应满足归一化要求：区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究进行归一化，计算公式为区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究式中：Wi为经归一化i因子的权重。由此构成（1×m）权重矩阵：A=（W1，W2，…，Wm）R为模糊转换器，是由若干个单因子评价行向量构成的，它表示从被考查要素到评定最高等级的一种模糊转化关系，其模糊关系矩阵为区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究B为综合评判结果，称为输出。B是要求的评价结果，它是评价集上一个模糊子集，用一个1×n行向量的形式表示。B=（μ（x1），μ（x2），…，μ（xi））上式中各个元是各因子对于评价等级的隶属度。μmn的计算采用降半梯形法，换算公式如表4-4所示（韩银富等，2000）。表4-4 隶属度μmn计算公式一览表续表概括地说，已知输入和模糊转换器求输出，就是模糊综合评判（付雁鹏等，1987）。综合评判，即A与R两个模糊矩阵的复合运算，采用（∧，∨）型综合评判计算法，类似于普通矩阵乘法，只是将矩阵乘法运算中的“×”号改为“∧”号，将“+”号改为“∨”号，“∧”意为两数中取小值，“∨”意为两数中取大值。复合运算的结果，表示某水样相对于各个质量类别的综合评判隶属度。根据所评价的综合隶属度，比较各级隶属度的大小。其中，隶属度最大者所在等级，即为水样点的分类等级。若Bi=max｛B1，B2，…，Bn｝，则该样品水质等级定为第i级。多样品水质按从优到劣排序的原则；同级别水质，比较各样品其邻级较优级别的隶属度，大的先排；不同级别水质，较劣的后排。将模糊综合评判法应用到地下水质量评价中，可得出一个客观的综合评价结论，以及各种组分影响程度的顺序。模糊综合判别法的局限性：1）B=A·R是通过“∨”，“∧”得到的，这种运算形式过分强调了极值的作用，这就势必丢掉一些数据所提供的信息，使判断结果显得“粗糙”，如评价函数呈现b1=b2=…=bm的情况时，就给最后的判别造成困难。2）由于强调“取小，取大”，如果A中各分量小于R中各量，复合结果R中各量将全部被筛选掉，使单因素判别失去作用，结果形成以权数作为评判函数的现象。以上情况会影响评价的精度。为了得到更好的评价结果，可根据实际情况，将“∨”，“∧”换成其他形式的算子进行评判，表4-5列出了几种常见的算子形式（付雁鹏等，1987）。表4-5 其他几种常见的算子形式注：a，b分别表示μa（x），μb（x）；a·b表示普通实数乘法；⊕表示有界和运算。如果采用一种算子评判把握不准，可以同时采用多种算子分别评判，最后进行评判结果比较，确定客观的较优的结论。（二）相似优先比法相似优先比法是模糊数学中的一种计算方法，是在被选择对象所组成的集合上，根据一些因素建立一个模糊相似关系，然后由表现这个模糊关系的模糊矩阵来决定元素的优劣。借助这种方法，可以对集合中元素按优劣程度排序。模糊相似矩阵是以海明距离比为基础构建的，使用λ截矩阵概念计算各分区与环境目标值相似程度的次序。1.海明距离dki=xk-xi （4-29）dkj=xk-xj （4-30）式中：xk为某级水质（环境目标值）标准值；xi，xj为被比较的两个区的实测平均值。2.模糊相似优先比区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究rji=1-rij （4-32）若rij在（0.5，1）之间，表示xi比xj优先；若rij在（0，0.5）之间，表示xj比xi优先。理想情况有3种：若rij=1，表示xi显然比xj优先；若rij=0，表示xj显然比xi优先；若rij=0.5，无法确定优先比，两个选择等价。3.模糊相似优先比矩阵区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究4.相似程度根据实际情况，在［0，1］之间由大到小选定一系列λ值（λ为评价样品与标准值相似程序的界限），作出相似的矩阵Rλ，得出各因子与目标之间的相似程度，并按求λ截矩阵的次序将元素排序。区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究5.综合排序综合排序，即将各元素的多种排序的序号求和，序号和越小，则该元素越优，反之，则差。应用相似优先比法对地下水质量进行优劣排序，效果较好。但是建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作比较繁琐，为避免较大的计算量，建议当样品少时，应用此方法（胡志荣等，1996）。（三）Fuzzy距离定序法Fuzzy距离定序法是在相似优先比法的基础上，将繁琐的建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作，通过变换待定序样品的序列，分析利用Fuzzy距离确定的Fuzzy优先矩阵的性质给出Fuzzy优先关系定序的简化方法。Fuzzy距离定序法简介：设已知给定一标准样品为B=（b1，b2，…，bi） （4-35）式中：i=1，2，…，m。给定待序样品序列为A′：A′1，A′2，…，A′i，…，A′n （4-36）式中：A′i=（ai1，ai2，…，aij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一个样品由m个指标构成。由于样品的各项指标单位各异，同一指标可能相差较大，为充分发挥样品各项指标在综合评比中的作用，首先对样品序列A′中每一样品的各项指标进行标准化处理。然后计算待定序样与标准样品之间的Fuzzy距离，具体计算时采用下述公式：区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究式中：d（Ai，B）为样品Ai与标准样品B的Fuzzy距离；xik为待定序样品Ai的第k项指标；dk为样品第k项指标的权重，且 ；p为选定的常数，p=1时，式（4-37）为加权海明距离；p=2时，为加权欧氏距离。用式（4-35）通过计算得到待定序样品A′与标准样品B之间Fuzzy距离序列D′：d（A1，B），d（A2，B），…，d（Ai，B），…，d（An，B） （4-38）对序列（4-36）按从小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距离序列d：d1，d2，…，di，…，dn （4-39）其中：d1＜d2，…＜di…＜dn对样品序列式（4-36），按样品在序列式（4-39）中相应出现的先后次序进行重新排列，得到新的样品序列A：A1，A2，…，Ai，…，An （4-40）若在序列式（4-39）中，存在di=dj，则相应把序列式（4-40）写成：A1，…，A2，…，Ai，Aj，…，An把Fuzzy距离按从小到大的顺序排列，待定序样品在距离序列中相应出现的先后次序即为所求的排列结果。对地下水质量优劣排序而言，Fuzzy距离由小到大代表地下水质量由优到劣。利用Fuzzy距离定序法进行地下水质量优劣排序，比相似优先比法简便，计算量小，评别易行，尤其当样品多时，更体现出此方法的有效性。但是此方法存在许多问题需进一步研究和探讨，如Fuzzy距离公式的选用、样品指标权数的确定等。因为Fuzzy距离定序法，定序的结果与Fuzzy距离有关，因此，应根据实际问题选用适当的计算公式，并结合研究区的水文地质条件及监测数据进行优劣排序；样品指标权数的选取是人为根据诸指标对地下水质量贡献大小来进行的，需要对各因素的影响有比较清楚的认识，才能够把握权重值。

模糊数学方法

模糊数学（FuzzyMathematics）是一个十分年轻的数学分支，它的产生使得数学能够在一片更广阔的领域里发挥独特作用。1965年，美国加利福尼亚大学Zadeh教授发表了《模糊集合论》，提出了用“隶属函数”来描述现象差异的中间过渡，从而突破了古典集合论中属于或不属于的绝对关系，引入模糊集合的概念，即将普通的二值集合（0，1）变为在区间上连续分布的模糊集合 [0，1]。自此，数学对象之间的各种模糊关系、模糊运算也相继产生，模糊数学迅速发展起来，理论不断完善，应用日益广泛。模糊数学经过近50年的发展，其应用几乎涉及了自然科学、社会科学和工程技术的各个领域。尤其是它将二值逻辑（非0则1）进行模糊推广，建立了模糊逻辑，使计算机的逻辑计算逐步接近人的形象思维方式，从而大大提高了计算机对模糊问题的处理能力，使机器智能化取得突破性进展。各种模糊技术成果和产品（如模糊芯片、模糊开发工具等硬件、模糊软件产品等等）也逐渐从实验室走向社会，并取得了显著的社会效益。工程地质环境质量评价是一项复杂的系统工程，由于影响质量评价的因素众多且十分复杂，各因素的影响程度也不尽相同，其相互间又存在着一定的关联性。而作为衡量质量好坏的各因素标准及界线很不清晰，即作为外延也是非常模糊的，各种因素的影响很难用经典数学模型加以统一量度，也很难将复杂的影响因素综合成一个因素进行评价。对于这种复杂的系统问题，模糊数学的理论和方法使其得到了更合理的解决。在岩土工程方面，模糊数学的应用深度逐渐加深，如工程岩体质量评价，使本来模糊的岩土体质量分类界限得以定量化、清晰化、精确化，评价结果也更符合客观实际情况。同时，模糊数学在矿山环境综合评价、地表水环境质量评价、城市地质环境评价、生态地质环境评价和湖库综合水质评价等方面均有广泛的应用。因此，用模糊数学的方法对某一具体区域进行工程地质环境质量综合评价有其突出的优势。本课题的研究也就采用了模糊数学的研究方法。

模糊数学模型的基本概念

定义 1 论域X 到[0,1] 闭区间上的任意映射μ ：X →[0,1]x →μ (x)都确定X 上的一个模糊集合A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：{(x,μ (x)) | x ∈X }使μ (x) =0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一个普通集。 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。定义2 对于论域X 上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为μ1(x) ，μ2(x) 。A Bi) 若对任意x ∈X ，有μ1(x) ≤μ2(x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ；B Aii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），即C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为C Dμ (x) max{μ (x),μ (x)}C A Bμ (x) min{μ (x),μ (x)}D A Bii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度μ (x) 1−μ (x)AC A

模糊数学模型的方法

在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。下面举例说明。如果设论域X 表示机器设备，在X 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度。如果X 表示产品，在X 上定义模糊集A =“质量稳定”，则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X 表示家庭，在X 上定义模糊集A=“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。